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%création des ensembles de nombres
\font\bbw=msbm10
\def\R{\hbox{\bbw R}}
\def\N{\hbox{\bbw N}}
\def\Z{\hbox{\bbw Z}}
\def\D{\hbox{\bbw D}}
\def\Q{\hbox{\bbw Q}}
\def\C{\hbox{\bbw C}}

\newenvironment{defi}{\begin{block}{Définition}\end{block}}

\title[Diaporama du cours]{Cours de terminale S\\Les nombres complexes}
\author{V. B. J. D. S. B.}
\institute{Lycée des EK}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}


\section {Les nombres complexes}

\subsection{Définition}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}

Il existe un ensemble, noté $\C$, d'éléments appelés \alt<2->{\color<2>{blue}nombres complexes}{\ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots \ldots}\pause \pause,  tels que :
\begin{itemize}
\item  $\C$ contient l'ensemble \alt<4->{\color<4>{blue}$\R$ des réels;}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause
\item  $\C$ contient un élément $i$ tel que \alt<6->{\color<6>{blue}$i^2=-1$;}{\ldots \ldots \ldots}\pause \pause
\item  $\C$ est muni d'une addition et d'une multiplication qui suivent des règles de calcul \alt<8->{\color<8>{blue}analogues à celles dans l'ensemble $\R$;}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause
\item  tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique sous la forme \alt<10->{\color<10>{blue}$z=a+bi$ }{\ldots \ldots \ldots}\pause \pause où $a$ et $b$ sont deux réels. Cette écriture est appelée la \alt<12->{\color<12>{blue}forme algébrique de $z$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause.
\end{itemize}

\end{block}

\end{frame}

\subsection{Vocabulaire}

\begin{frame}

\begin{itemize}
\item On dit que le réel $a$ est la \alt<2->{\color<2>{blue}partie réelle}{\ldots \ldots \ldots \ldots } \pause \pause de $z$ et on la note \alt<4->{\color<4>{blue}$a=\mathcal{R}e(z)$}{\ldots \ldots \ldots}\pause \pause.
\item On dit que $b$ est la \alt<6->{\color<6>{blue}partie imaginaire}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } \pause \pause de $z$ et on la note \alt<8->{\color<8>{blue}$b=\mathcal{I}m(z)$}{\ldots \ldots \ldots}\pause \pause.
\item Tout nombre complexe de la forme $z=bi$ ($b$ réel) est appelé \alt<10->{\color<10>{blue}imaginaire pur}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause.
\end{itemize}

\end{frame}

\subsection{Conséquences}

\begin{frame}

\begin{itemize}
\item Dire que le nombre complexe $z$ est réel équivaut à dire que \alt<2->{\color<2>{blue}$\mathcal{I}m(z)=0$}{\ldots \ldots \ldots}\pause \pause.
\item Dire que le nombre complexe $z$ est imaginaire pur équivaut à dire que \alt<4->{\color<4>{blue}$\mathcal{R}e(z)=0$}{\ldots \ldots \ldots}\pause \pause.
\end{itemize}

\end{frame}

\subsection{Propriétés}

\begin{frame}

\begin{itemize}
\item Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont \alt<2->{\color<2>{blue}même partie réelle et même partie imaginaire }{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots}\pause \pause:
\alt<4->{\color<4>{blue}$$a+bi=a'+b'i \Longleftrightarrow a=a' \, \text{ et } \, b=b'$$}{$$a+bi=a'+b'i \Longleftrightarrow \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$}\pause \pause
\item  En particulier : \alt<6->{\color<6>{blue}$$a+bi=0 \Longleftrightarrow a=0 \, \text{ et } \, b=0$$}{$$a+bi=0 \Longleftrightarrow\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$}\pause \pause
\end{itemize}

\end{frame}

\section {Opérations sur les complexes}


\subsection {Calculs}

\begin{frame}
 
Grâce aux propriétés de l'ensemble $\C$, on calcule dans $\C$ comme dans $\R$, en tenant compte de $i^2=-1$. Ainsi, en notant $z=a+bi$ et $z'=a'+b'i$, on a :

~

$\bullet$ \, somme : \alt<2->{\color<2>{blue}$z+z'=(a+bi)+(a'+b'i)=(a+a')+(b+b')i$}{$z+z'= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $}\pause \pause.
 
 ~
 
$\bullet$	\, produit : \alt<4->{\color<4>{blue}$zz'=(a+bi)(a'+b'i)=aa'+ab'i+a'bi+bb'i^2=(aa'-bb')+(ab'+a'b)i$}{$zz'= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $}\pause \pause.
 
 \end{frame}

\begin{frame}
 
$\bullet$  \, identités remarquables : elles restent valables dans $\R$, en particulier : \alt<2->{\color<2>{blue}$$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$$}{$$(a+bi)(a-bi)= \ldots \ldots \ldots $$}\pause \pause
 
 ~
 
$\bullet$  \, inverse : si $z\neq 0$, \quad \alt<4->{\color<4>{blue}$\cfrac{1}{z}=\cfrac{1}{a+bi}=\cfrac{a-bi}{a^2+b^2}$}{$\cfrac{1}{z} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $}\pause \pause
 
\end{frame}
   
\subsection {Conjugué}

\begin{frame}
   
\begin{block}{Définition}

~

Le conjugué d'un nombre complexe $z=a+bi$ est le nombre complexe \alt<2->{\color<2>{blue}$a-bi$}{\ldots \ldots }\pause \pause. On le note $\overline{z}$.

~

\end{block}

~

Exemples :

Si $z=2+6i$, alors \alt<4->{\color<4>{blue}$\overline{z}=2-6i$}{$\overline{z}= \ldots \ldots $}\pause \pause ; si $z=4$ alors \alt<6->{\color<6>{blue}$\overline{z}=4$}{$\overline{z}= \ldots $}\pause \pause ; si $z=-2i$ alors \alt<8->{\color<8>{blue}$\overline{z}=2i$}{$\overline{z}= \ldots $}\pause \pause.

\end{frame}

\begin{frame}

Conséquence :

si $z=a+bi$, alors $z+\overline{z}=2a$ \, et \, $z-\overline{z}=2bi$ , d'où : \alt<2->{\color<2>{blue}$$z+\overline{z}=2\mathcal{R}e(z) \qquad \text{et} \qquad z-\overline{z}=2i\mathcal{I}m(z)$$}{$$z+\overline{z}=\ldots \ldots \qquad \text{et} \qquad z-\overline{z}=\ldots \ldots $$} \pause \pause

Il en résulte que :

-  "Le nombre complexe $z$ est réel" équivaut à \alt<4->{\color<4>{blue}"$z=\overline{z}$ \,"}{"$z= \ldots $"}\pause \pause.

- "Le nombre complexe $z$ est imaginaire pur" équivaut à \alt<6->{\color<6>{blue}"$z+\overline{z}=0$\,"}{"$z+\overline{z}= \ldots $"}\pause \pause.

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Propriétés}

~

\alt<2->{\color<2>{blue}$\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$}{$\overline{z+z'}= \ldots \ldots $}\pause \pause.
\qquad \qquad
\alt<4->{\color<4>{blue}$\overline{zz'}=\overline{z}\times \overline{z'}$}{$\overline{zz'}= \ldots \ldots$} \pause \pause.
\qquad \qquad
\alt<6->{\color<6>{blue}$\overline{z^n}=\overline{z}^n$ }{$\overline{z^n}= \ldots \ldots $}\pause \pause \, pour tout naturel $n$.

~

si $z'\neq 0$ : \alt<8->{\color<8>{blue}$\overline{\left(\frac{1}{z'}\right)}=\frac{1}{\overline{z'}}$}{$\overline{\left(\frac{1}{z'}\right)}= \ldots $}\pause \pause. \, et \, \alt<10->{\color<10>{blue}$\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$}{$\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)}= \ldots $}\pause \pause.

~

\textbf{Remarque}

~


\alt<12->{\color<12>{blue}$\overline{\overline{z}}=z$}{$\overline{\overline{z}}=\ldots$}\pause\pause
\qquad \qquad
\alt<14->{\color<14>{blue}$z\overline{z}=a^2+b^2$}{$z\overline{z}=\ldots \ldots$}\pause\pause

\end{frame}

\section {Equation du second degré à coefficients réels}

\begin{frame}

\textbf{Théorème}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Dans $\C$, l'équation $az^2+bz+c=0$, $a\neq 0$, $a$, $b$, $c$ réels, a toujours des solutions.

~

On note $\Delta$ le discriminant de cette équation : $$\Delta=b^2-4ac$$

$\bullet$ \, si $\Delta>0$, l'équation a deux solutions réelles : \alt<2->{\color<2>{blue}$$z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \, \text{ et } z_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$}{$$z_1=\ldots \ldots \ldots \ldots \, \text{ et } z_2= \ldots \ldots \ldots \ldots $$}\pause\pause

\end{minipage}}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}

$\bullet$ \, si $\Delta=0$, l'équation a une solution double réelle : \alt<2->{\color<2>{blue}$$z_1=z_2=\frac{-b}{2a}$$}{$$z_1=z_2=\ldots \ldots$$}\pause\pause



$\bullet$ \, si $\Delta<0$, l'équation a deux solutions complexes conjuguées : 

\alt<4->{\color<4>{blue}$$z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} \, \text{ et } z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} \, \text{ avec } z_2=\overline{z_1}$$}{$$z_1=\ldots \ldots \ldots \ldots \, \text{ et } z_2= \ldots \ldots \ldots \ldots \, \text{ avec } z_2=\ldots $$}\pause\pause
\end{minipage}}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Conséquence}

Dans $\C$, le trinôme $az^2+bz+c$ se factorise toujours sous la forme : $az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$.

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Démonstration}

On écrit le trinôme $az^2+bz+c$ sous la forme canonique :

\alt<2->{\color<2>{blue}$$az^2+bz+c=a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]=a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]$$}{$$az^2+bz+c= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$$}\pause \pause

Puisque $a\neq 0$, résoudre dans $\C$ l'équation $az^2+bz+c=0$, c'est résoudre l'équation \alt<4->{\color<4>{blue}$$\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}=0$$}{$$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$}\pause \pause

\end{frame}

\begin{frame} 

$\bullet$ \, si $\Delta>0$ ou si $\Delta=0$, on sait que l'équation a deux solutions dans $\R$ et deux seulement (distinctes ou égales). Elle a donc deux solutions complexes et deux seulement puisque $\R$ est inclus dans $\C$.

\end{frame}

\begin{frame}

$\bullet$ \, si $\Delta<0$, alors $\sqrt{-\Delta}$ existe et avec $i^2=-1$, on a \alt<2->{\color<2>{blue}$(i\sqrt{-\Delta})^2=\Delta$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots} \pause \pause Donc :

\alt<4->{\color<4>{blue}$$\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}=\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2$$
$$=\left(z+\frac{b}{2a}-\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)\left(z+\frac{b}{2a}+\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)$$}{$$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$ \vspace{2ex} $$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$}\pause \pause

~

Ainsi l'équation a deux solutions :

\alt<6->{\color<6>{blue}$$z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \text{ et } z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \text{ avec } z_2=\overline{z_1}.$$}{$$z_1=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad \text{ et } z_2=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad \text{ avec } z_2=\overline{z_1}. $$} \pause\pause

\end{frame}

\begin{frame}
 
 \textbf{Exemple :}
 
Résoudre dans l'équation : $4z^2-12z+153=0$
 
 ~
 
 On calcule le discriminant : 

\alt<2->{\color<2>{blue}$\Delta=(-12)^2-4\times 4\times 153=-2304=(48i)^2$.}{$\Delta=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $}\pause \pause
 
 ~
 
 L'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
 
 \alt<4->{\color<4>{blue}$$z_1=\frac{12-48i}{8}=\frac{3}{2}-6i \, \text{ et } z_2=\frac{12+48i}{8}=\frac{3}{2}+6i$$}{$$z_1=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \, \text{ et } z_2= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$}\pause\pause
 
 \alt<6->{\color<6>{blue}$$S=\{\frac{3}{2}-6i; \frac{3}{2}+6i\}$$}{$$S=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$}\pause \pause

\end{frame}


\section {Représentation géométrique d'un nombre complexe}


\subsection{Définition }

\begin{frame}

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O; \stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})$ :

~

$\bullet$ \, à tout complexe $z=a+bi$ avec $a$ et $b$ réels, on associe le point $M(a; b)$ et le  vecteur $\stackrel{\rightarrow}{w}(a; b)$ appelés \alt<2->{\color<2>{blue}point image}{\ldots \ldots \ldots \ldots } \pause \pause et \alt<4->{\color<4>{blue}vecteur image}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause \pause  de $z$.

~

$\bullet$ \, à tout point $M(a; b)$ et à tout vecteur $\stackrel{\rightarrow}{w}(a; b)$ on associe le nombre complexe $z=a+bi$, appelé \alt<6->{\color<6>{blue}affixe de $M$}{\ldots \ldots \ldots \ldots } \pause \pause et \alt<8->{\color<8>{blue}affixe de $\stackrel{\rightarrow}{w}$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots } \pause \pause

~

Le plan est alors appelé plan complexe.

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{comp_image1.pdf}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}

\end{frame}

\subsection{Remarques}

\begin{frame}

$\bullet$ \quad  Le point image d'un réel appartient à l'\alt<2->{\color<2>{blue}axe des abscisses.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause \pause Dans le plan complexe, l'axe des abscisses est appelé axe \alt<4->{\color<4>{blue}des réels.}{\ldots \\ \ldots \ldots} \pause \pause

$\bullet$ \quad Le point image d'un imaginaire pur appartient à l'\alt<6->{\color<6>{blue}axe des ordonnées.}{\ldots \ldots \ldots \\ \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause \pause  Dans le plan complexe, l'axe des ordonnées est appelé axe des \alt<8->{\color<8>{blue}imaginaires.}{\ldots \ldots \ldots \ldots } \pause \pause

\end{frame}

\subsection{Propriétés}

\begin{frame}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})$.

On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$. Alors :

~

$\bullet$ \quad Le vecteur $\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ a pour affixe \alt<2->{\color<2>{blue}$z_B-z_A$.}{ \ldots \ldots \ldots } \pause \pause

~

$\bullet$ \quad Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour affixe \alt<4->{\color<4>{blue}$z_I=\cfrac{z_A+z_B}{2}$\, .}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } \pause \pause

\end{frame}

\begin{frame}

On considère les vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{w}$ et $\stackrel{\rightarrow}{w'}$ d'affixes respectives $z$ et $z'$, et le réel $\lambda$.

$\bullet$ \quad $\stackrel{\rightarrow}{w}+ \stackrel{\rightarrow}{w'}$ a pour affixe \alt<2->{\color<2>{blue}$z+z'$.}{\ldots \ldots \ldots } \pause \pause


$\bullet$ \quad $\lambda \stackrel{\rightarrow}{w}$ a pour affixe \alt<4->{\color<4>{blue}$\lambda z$.}{\ldots \ldots } \pause \pause


~

\textbf{Preuve :}

Il s'agit simplement d'une autre écriture des propriétés déjà connues pour les coordonnées.

\end{frame}

\section{Forme trigonométrique d'un nombre complexe}

	\subsection{Module et argument}
	
	\begin{frame}
	
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})$.

\begin{block}{Définition}

Soit $z$ un nombre complexe et $M$ son image dans le plan complexe. 

Le \textbf{module} de $z$, noté $|z |$, est \alt<2->{\color<2>{blue}la distance $OM$ : $|z |=OM$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } \pause \pause

Si $z$ est non nul, on appelle \textbf{argument} de $z$, noté $\arg(z)$, toute mesure en radian de \alt<4->{\color<4>{blue}l'angle orienté $(\stackrel{\rightarrow}{u} ; \stackrel{\longrightarrow}{OM} )$ : $\arg(z)=(\stackrel{\rightarrow}{u} ; \stackrel{\longrightarrow}{OM} )$ \quad $(2\pi)$. }{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause \pause

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{comp_image2.pdf}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Exemples}

\alt<2->{\color<2>{blue}$$|i|=1 \qquad \arg(i)=\frac{\pi}{2} \quad (2\pi)$$}{$$|i|= \ldots \qquad \arg(i)=\dots \quad (2\pi) $$} \pause \pause

\alt<4->{\color<4>{blue}$$|-3|=3 \qquad \arg(-3)=\pi \quad (2\pi)$$}{$$|-3|=\ldots \qquad \arg(-3)=\ldots \quad (2\pi)$$ } \pause \pause

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Propriétés}

$\bullet$ \quad Pour tout nombre complexe $z$, \alt<2->{\color<2>{blue}$z\overline{z}=a^2+b^2=|z|^2$}{$z\overline{z}= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $} \pause \pause

\vspace{1ex}

$\bullet$ \quad  Pour tout nombre complexe $z$,  \alt<4->{\color<4>{blue}$|-z|= | \overline{z}|= |z |$.}{$|-z|= \ldots \ldots \ldots $} \pause \pause

\vspace{1ex}

$\bullet$ \quad Pour tout nombre complexe non nul $z$ : \alt<6->{\color<6>{blue}$$\arg(-z)=\arg(z)+\pi \quad (2\pi)$$}{$$ \arg(-z)= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$} \pause \pause
\alt<8->{\color<8>{blue}$$\arg(\overline{z})=-\arg(z) \quad (2\pi)$$}{$$\arg(\overline{z})=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$} \pause \pause

$\bullet$ \quad $z$ est un réel, $(z\neq 0 )$, si et seulement si \alt<10->{\color<10>{blue}$\arg(z)=0$ \quad $(\pi)$.}{$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $} \pause \pause

\vspace{1ex}

$\bullet$ \quad $z$ est un imaginaire pur, $(z\neq 0 )$, si et seulement si 

\qquad \qquad \qquad \alt<12->{\color<12>{blue}$\arg(z)=\frac{\pi}{2}$ \quad $(\pi)$.}{$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $} \pause \pause

\end{frame}

\subsection{Forme trigonométrique}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}

Tout nombre complexe non nul s'écrit sous la forme suivante, dite \alt<2->{\color<2>{blue}forme trigonométrique}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } \pause \pause :
$$z=r(\cos\theta +i \sin \theta) \qquad \text{ avec } \quad r=|z| \, \text{ et } \, \theta=\arg(z) \quad (2\pi)$$ 

\end{block}

\end{frame}

\subsection{Passage d'une forme à l'autre}

\begin{frame}

$\bullet$ \quad  Si la forme algébrique de $z$ est $z=a+bi$, avec $z\neq 0$, alors sa forme trigonométrique est :
$z=r(\cos \theta +i \sin \theta)$ \, avec \alt<2->{\color<2>{blue}$r=\sqrt{a^2+b^2}$}{$r=\ldots \ldots \ldots $} \pause \pause \, et $\theta$ tel que \alt<4->{\color<4>{blue}$\cos \theta=\cfrac{a}{r}=\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$}{$\cos \theta= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $} \pause \pause \, et \alt<6->{\color<6>{blue}$\sin \theta = \cfrac{b}{r}=\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$\,.}{$\sin \theta= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $} \pause \pause

~

$\bullet$ \quad  Si la forme trigonométrique de $z$ est $z=r(\cos \theta +i \sin \theta)$, alors sa forme algébrique est :
$z=a+bi$\, avec \alt<8->{\color<8>{blue}$a=r\cos \theta$}{$a=\ldots \ldots $} \pause \pause et \alt<10->{\color<10>{blue}$b=r\sin \theta$.}{$b=\ldots \ldots $} \pause \pause

\end{frame}

\subsection{Propriétés}

\begin{frame}

On considère $z\neq 0$ et $z'\neq0$.

~

$\bullet$ \quad Produit

Module : \alt<2->{\color<2>{blue}$|z\times z'|=|z|\times |z'|$}{$|z\times z'|= \ldots \ldots \ldots $} \pause \pause 

Argument : \alt<4->{\color<4>{blue}$\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')  \quad (2\pi)$}{$\arg(zz')= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad (2\pi) $} \pause \pause

~

$\bullet$ \quad Puissance

Module : \alt<6->{\color<6>{blue}$|z^n|=|z|^n$}{$|z^n|= \ldots $} \pause \pause \qquad Argument : \alt<8->{\color<8>{blue}$\arg(z^n)=n\, \arg(z)  \quad (2\pi)$}{$\arg(z^n)= \ldots \ldots \ldots \quad (2\pi) $} \pause \pause

~

$\bullet$ \quad Inverse

Module : \alt<10->{\color<10>{blue}$\left|\cfrac{1}{z}\right|=\cfrac{1}{|z|}$}{$\left|\cfrac{1}{z}\right|= \ldots \ldots $} \pause \pause \qquad   ~ Argument : \alt<12->{\color<12>{blue}$\arg(\cfrac{1}{z})=- \arg(z)  \quad (2\pi)$}{$\arg(\cfrac{1}{z})= \ldots \ldots  \quad (2\pi)$} \pause \pause

\end{frame}

\begin{frame}

$\bullet$ \quad Quotient

Module : \alt<2->{\color<2>{blue}$\left|\cfrac{z}{z'}\right|=\cfrac{|z|}{|z'|}$}{$\left|\cfrac{z}{z'}\right|= \ldots \, $} \pause \pause 

  Argument : \alt<4->{\color<4>{blue}$\arg(\cfrac{z}{z'})=\arg(z)- \arg(z')  \quad (2\pi)$}{$\arg(\cfrac{z}{z'})= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad (2\pi)$} \pause \pause

~

$\bullet$ \quad Somme 

Inégalité triangulaire : \alt<6->{\color<6>{blue}$|z+z'|\leq |z|+|z'|$}{$|z+z'|\leq \ldots \ldots \ldots $} \pause \pause

\end{frame}

\begin{frame}

$\bullet$ \quad Géométrie

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan complexe, d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$.

$$|z_B-z_A|=AB \, \text{ et } \, \arg(z_B-z_A)=(\stackrel{\rightarrow}{u} ; \stackrel{\longrightarrow}{AB} ) \quad (2\pi)$$

$$\left|\frac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\right|=\frac{CB}{CA} \, \text{ et } \, \arg\left(\frac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\right)=(\stackrel{\longrightarrow}{CA} ; \stackrel{\longrightarrow}{CB} ) \quad (2\pi)$$

\end{frame}

\begin{frame}

Par conséquent, les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et
 
\vspace{1ex} 

seulement si 
\alt<2->{\color<2>{blue}$\arg\left(\cfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\right)=0$ \quad $(\pi)$}{ 
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } \pause \pause

~

et les droites $(BC)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires si et 

\vspace{1ex}

seulement si \alt<4->{\color<4>{blue}$\arg\left(\cfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\right)=\cfrac{\pi}{2}$ \quad $(\pi)$}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause \pause

\end{frame}

\section{Notation exponentielle et applications.}

\subsection{Notation exponentielle}

\begin{frame}

Tout nombre complexe de module $1$ s'écrit $z=\cos\theta + i \sin \theta$ avec $\theta=\arg(z)$\, $(2\pi)$.

~

On note $f$ la fonction qui à tout réel $\theta$ associe le nombre complexe $f(\theta)=\cos\theta + i \sin \theta$. 

On se propose de démontrer que pour tous réels $\theta$ et $\theta'$, $f(\theta+\theta')=f(\theta)\times f(\theta')$ et $f(0)=1$.

\end{frame}

\begin{frame}

\alt<2->{\color<2>{blue}$f(\theta)\times f(\theta')=[\cos\theta + i \sin \theta ]\times [\cos\theta' + i \sin \theta' ]$}{$f(\theta)\times f(\theta')= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $} \pause \pause

 \qquad \qquad \quad \alt<4->{\color<4>{blue}$=[\cos\theta \cos\theta'-  \sin \theta  \sin \theta'] +i[\cos\theta \sin \theta'+ \cos\theta'\sin \theta ]$}{$= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $} \pause \pause

~

Soit : \alt<6->{\color<6>{blue}$f(\theta)\times f(\theta')=\cos (\theta+\theta')+i \sin(\theta+\theta')=f(\theta+\theta')$}{$f(\theta)\times f(\theta')= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $} \pause \pause

~

De plus, \alt<8->{\color<8>{blue}$f(0)=\cos 0 +i \sin 0=1$}{$f(0)= \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $} \pause \pause

\end{frame}

\begin{frame}

Ainsi, comme la fonction exponentielle, $f$ « transforme les sommes en produits » et $f(0)=1$.

~

D'où l'idée de poser \alt<2->{\color<2>{blue}$\text{e}^{i\theta}=\cos\theta + i \sin \theta$.}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } \pause \pause

~

L'égalité $f(\theta+\theta')=f(\theta)\times f(\theta')$ démontrée s'écrit alors \alt<4->{\color<4>{blue}$\text{e}^{i\theta}\times \text{e}^{i\theta'}=\text{e}^{i(\theta+\theta')}$,}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } \pause \pause ce qui justifie cette notation exponentielle.

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{block}{Définition}

~

Le complexe de module $1$ dont un argument est $\theta$\, est noté $\text{e}^{i\theta}$\, avec :
\alt<2->{\color<2>{blue}$$\text{e}^{i\theta}=\cos\theta + i \sin \theta$$}{$$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$} \pause \pause

~

\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Exemples}

\alt<2->{\color<2>{blue}$\text{e}^{i\pi}=-1$}{$\text{e}^{i\pi}= \ldots $} \pause \pause \quad; \quad \alt<4->{\color<4>{blue}$\text{e}^{i\frac{\pi}{2}}=i$}{$\text{e}^{i\frac{\pi}{2}}= \ldots $} \pause \pause

~

\textbf{Notation exponentielle de la forme trigonométrique}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Tout nombre complexe non nul de module $r$ et d'argument $\theta$ s'écrit sous la forme suivante, dite \alt<6->{\color<6>{blue}notation exponentielle :}{\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 

\ldots \ldots} \pause \pause
$$z=r\text{e}^{i\theta}\quad \text{ avec } \quad r=|z| \quad \text{ et } \theta =\arg(z) \quad (2\pi)$$
\end{minipage}}
\end{center}

\end{frame}

\subsection{Propriétés}

\begin{frame}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Pour tout réels $\theta$ et $\theta'$ :
\alt<2->{\color<2>{blue}$$\text{e}^{-i\theta}=\cos\theta - i \sin \theta$$}{$$\text{e}^{-i\theta}= \ldots \ldots \ldots \ldots $$} \pause \pause
\alt<4->{\color<4>{blue}$$\text{e}^{i\theta}\times \text{e}^{i\theta'}=\text{e}^{i(\theta +\theta')} \qquad \qquad \left(\text{e}^{i\theta} \right)^n=\text{e}^{in\theta}$$}{$$\text{e}^{i\theta}\times \text{e}^{i\theta'}= \ldots \ldots \qquad \qquad \left(\text{e}^{i\theta} \right)^n= \ldots \ldots $$} \pause \pause
\alt<6->{\color<6>{blue}$$\frac{1}{\text{e}^{i\theta}}=\text{e}^{-i\theta}=\overline{\text{e}^{i\theta}} \qquad \qquad \frac{\text{e}^{i\theta}}{ \text{e}^{i\theta'}}=\text{e}^{i(\theta -\theta')}$$}{$$\frac{1}{\text{e}^{i\theta}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \qquad \qquad \frac{\text{e}^{i\theta}}{ \text{e}^{i\theta'}}=\ldots $$} \pause \pause
\end{minipage}}
\end{center}

\end{frame}
	
\subsection{Applications en trigonométrie}

\begin{frame}

A l'aide de ces formules, on retrouve les formules d'addition et de duplication vues en Première en écrivant les membres de gauche et de droite sous forme trigonométrique :

~

Par exemple :

$\text{e}^{i(\theta -\theta')}=\text{e}^{i\theta}\times \text{e}^{-i\theta'}$ \, s'écrit :

\alt<2->{\color<2>{blue}$\cos (\theta-\theta')+i \sin(\theta-\theta')=[\cos\theta + i \sin \theta ]\times [\cos\theta' - i \sin \theta' ]$}{ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots} \pause \pause

\alt<4->{\color<4>{blue} $\qquad \qquad \quad =\cos\theta \cos\theta'-i\cos\theta \sin \theta'+i \sin \theta\cos\theta'+ \sin \theta  \sin \theta'$}{$\qquad \qquad \quad = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $} \pause \pause

\alt<6->{\color<6>{blue} $\qquad \qquad \quad=[\cos\theta \cos\theta'+ \sin \theta  \sin \theta'] +i[\sin \theta\cos\theta'-\cos\theta \sin \theta' ]$}{$\qquad \qquad \quad = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $} \pause \pause

\end{frame}

\begin{frame}

Ainsi on retrouve bien :

\alt<2->{\color<2>{blue}$\cos (\theta-\theta')=\cos\theta \cos\theta'+ \sin \theta  \sin \theta'$}{$\cos (\theta-\theta')=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$} \pause \pause \, et \, \alt<4->{\color<4>{blue}$\sin(\theta-\theta')=\sin \theta \cos\theta' -\cos\theta \sin \theta'$}{$\sin(\theta-\theta')=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$} \pause \pause

\end{frame}

\begin{frame}

Autre exemple :

$\text{e}^{i(\theta +\theta)}=\text{e}^{2i\theta}=\text{e}^{i\theta}\times \text{e}^{i\theta}$ \, s'écrit :

\alt<2->{\color<2>{blue}$\cos (2\theta)+i \sin(2\theta)=(\cos\theta + i \sin \theta)^2$}{ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } \pause \pause

\alt<4->{\color<4>{blue} $\qquad \qquad \qquad \qquad =\cos^2\theta +2i\cos\theta \sin \theta -\sin^2 \theta$}{$\qquad \qquad \qquad \qquad = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $} \pause \pause

\alt<6->{\color<6>{blue} $\qquad \qquad \qquad \qquad=\cos^2\theta - \sin^2 \theta  +i(2\sin \theta\cos\theta)$}{$\qquad \qquad \qquad \qquad = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$} \pause \pause

~

Ainsi on retrouve bien :

\alt<8->{\color<8>{blue}$\cos (2\theta)=\cos^2\theta - \sin^2 \theta$}{$\cos (2\theta)= \ldots \ldots \ldots \ldots$} \pause \pause \, et \, \alt<10->{\color<10>{blue}$\sin(2\theta)=2\sin \theta \cos\theta $}{$\sin (2\theta)= \ldots \ldots \ldots \ldots $} \pause \pause 

\end{frame}

\end{document}