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%création des ensembles de nombres
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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
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\lfoot{\small{Bernelas - Bays - Desclaux}}
\rfoot{\small{Lycée Les Eucalyptus 2019-2020}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
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\begin{center} \Large \textbf{\fbox{Les nombres complexes}} 
  \end{center}

\vspace{2ex}


\section {Les nombres complexes}

\subsection{Définition}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Il existe un ensemble, noté $\C$, d'éléments appelés nombres complexes, tels que :
\begin{itemize}
\item  $\C$ contient l'ensemble $\R$ des réels ;
\item  $\C$ contient un élément $i$ tel que $i^2=-1$;
\item  $\C$ est muni d'une addition et d'une multiplication qui suivent des règles de calcul analogues à celles dans l'ensemble $\R$ ;
\item  tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique sous la forme $z=a+bi$ où $a$ et $b$ sont deux réels. Cette écriture est appelée la forme algébrique de $z$.
\end{itemize}
\end{minipage}}
\end{center}

\subsection{Vocabulaire}

\begin{itemize}
\item On dit que le réel $a$ est la partie réelle de $z$ et on la note $a=\mathcal{R}e(z)$.
\item On dit que $b$ est la partie imaginaire de $z$ et on la note $b=\mathcal{I}m(z)$.
\item Tout nombre complexe de la forme $z=bi$ ($b$ réel) est appelé imaginaire pur.
\end{itemize}

\subsection{Conséquences}

\begin{itemize}
\item Dire que le nombre complexe $z$ est réel équivaut à dire que $\mathcal{I}m(z)=0$.
\item Dire que le nombre complexe $z$ est imaginaire pur équivaut à dire que $\mathcal{R}e(z)=0$
\end{itemize}

\subsection{Propriétés}

\begin{itemize}
\item Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire :
$$a+bi=a'+b'i \Longleftrightarrow a=a' \, \text{ et } \, b=b'$$
\item  En particulier : $$a+bi=0 \Longleftrightarrow a=0 \, \text{ et } \, b=0$$
\end{itemize}


\section {Opérations sur les complexes}


\subsection {Calculs}
 
Grâce aux propriétés de l'ensemble $\C$, on calcule dans $\C$ comme dans $\R$, en tenant compte de $i^2=-1$. Ainsi, en notant $z=a+bi$ et $z'=a'+b'i$, on a :

~

$\bullet$ \, somme : $z+z'=(a+bi)+(a'+b'i)=(a+a')+(b+b')i$.
 
 ~
 
$\bullet$	\, produit : $zz'=(a+bi)(a'+b'i)=aa'+ab'i+a'bi+bb'i^2=(aa'-bb')+(ab'+a'b)i$.
 
 ~
 
$\bullet$  \, identités remarquables : elles restent valables dans $\R$, en particulier : $$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$$
 
 ~
 
$\bullet$  \, inverse : si $z\neq 0$, \quad $\cfrac{1}{z}=\cfrac{1}{a+bi}=\cfrac{a-bi}{a^2+b^2}$
 
   
\subsection {Conjugué}
   
\textbf{Définition}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Le conjugué d'un nombre complexe $z=a+bi$ est le nombre complexe $a-bi$. On le note $\overline{z}$.
\end{minipage}}
\end{center}

\vspace{1ex}

Exemples :

Si $z=2+6i$, alors $\overline{z}=2-6i$ ; si $z=4$ alors $\overline{z}=4$ ; si $z=-2i$ alors $\overline{z}=2i$.

~

Conséquence :
Si $z=a+bi$, alors $z+\overline{z}=2a$ \, et \, $z-\overline{z}=2bi$ , d'où : $$z+\overline{z}=2\mathcal{R}e(z) \qquad \text{et} \qquad z-\overline{z}=2i\mathcal{I}m(z)$$

Il en résulte que :

-  "Le nombre complexe $z$ est réel" équivaut à "$z=\overline{z}$".

- "Le nombre complexe $z$ est imaginaire pur" équivaut à "$z+\overline{z}=0$".

~

\textbf{Propriétés}

$\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$
\qquad \qquad
$\overline{zz'}=\overline{z}\times \overline{z'}$
\qquad \qquad
$\overline{z^n}=\overline{z}^n$ \, pour tout naturel $n$.

~

si $z'\neq 0$ : $\overline{\left(\cfrac{1}{z'}\right)}=\cfrac{1}{\overline{z'}}$ \, et \, $\overline{\left(\cfrac{z}{z'}\right)}=\cfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}$

~

\textbf{Remarque}

$\overline{\overline{z}}=z$
\qquad \qquad
$z\overline{z}=a^2+b^2$

\section {Equation du second degré à coefficients réels}

\textbf{Théorème}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Dans $\C$, l'équation $az^2+bz+c=0$, $a\neq 0$, $a$, $b$, $c$ réels, a toujours des solutions.

~

On note $\Delta$ le discriminant de cette équation : $\Delta=b^2-4ac$.

~

$\bullet$ \, si $\Delta>0$, l'équation a deux solutions réelles : $z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} $\, et $z_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

~

$\bullet$ \, si $\Delta=0$, l'équation a une solution double réelle : $z_1=z_2=\frac{-b}{2a}$

~

$\bullet$ \, si $\Delta<0$, l'équation a deux solutions complexes conjuguées : 

$$z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} \, \text{ et } z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} \, \text{ avec } z_2=\overline{z_1}.$$
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Conséquence}

Dans $\C$, le trinôme $az^2+bz+c$ se factorise toujours sous la forme : $az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$.

~

\textbf{Démonstration}

On écrit le trinôme $az^2+bz+c$ sous la forme canonique :

$$az^2+bz+c=a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]=a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right]$$

Puisque $a\neq 0$, résoudre dans $\C$ l'équation $az^2+bz+c=0$, c'est résoudre l'équation  $$\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}=0$$

$\bullet$ \, si $\Delta>0$ ou si $\Delta=0$, on sait que l'équation a deux solutions dans $\R$ et deux seulement (distinctes ou égales). Elle a donc deux solutions complexes et deux seulement puisque $\R$ est inclus dans $\C$.

~

$\bullet$ \, si $\Delta<0$, alors $\sqrt{-\Delta}$ existe et avec $i^2=-1$, on a $(i\sqrt{-\Delta})^2=\Delta$. Donc :

$$\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}=\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2=
\left(z+\frac{b}{2a}-\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)\left(z+\frac{b}{2a}+\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)$$

Ainsi l'équation a deux solutions :

$$z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \text{ et } z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \text{ avec } z_2=\overline{z_1}.$$

~
 
 \textbf{Exemple :}
 
Résoudre dans $\C$ l'équation : $4z^2-12z+153=0$
 
\vspace{2ex}
 
 On calcule le discriminant : $\Delta=(-12)^2-4\times 4\times 153=-2304=(48i)^2$.
 
\vspace{2ex}
 
 L'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
 
 $$z_1=\frac{12-48i}{8}=\frac{3}{2}-6i \, \text{ et } z_2=\frac{12+48i}{8}=\frac{3}{2}+6i$$
 
 $$S=\{\frac{3}{2}-6i; \frac{3}{2}+6i\}$$


\section {Représentation géométrique d'un nombre complexe}


\subsection{Définition }

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O; \stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})$ :

~

$\bullet$ \, à tout complexe $z=a+bi$ avec $a$ et $b$ réels, on associe le point $M(a; b)$ et le  vecteur $\stackrel{\rightarrow}{w}(a; b)$ appelés point image et vecteur image de $z$.

~

$\bullet$ \, à tout point $M(a; b)$ et à tout vecteur $\stackrel{\rightarrow}{w}(a; b)$ on associe le nombre complexe $z=a+bi$, appelé affixe de $M$ et affixe de $\stackrel{\rightarrow}{w}$.

~

Le plan est alors appelé plan complexe.

~


\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{comp_image1.pdf}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}

\subsection{Remarques}

$\bullet$ \quad  Le point image d'un réel appartient à l'axe des abscisses. Dans le plan complexe, l'axe des abscisses est appelé axe des réels.

$\bullet$ \quad Le point image d'un imaginaire pur appartient à l'axe des ordonnées. Dans le plan complexe, l'axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires.

\subsection{Propriétés}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})$.

On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$. Alors :

~

$\bullet$ \quad Le vecteur $\stackrel{\longrightarrow}{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$.

~

$\bullet$ \quad Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour affixe $z_I=\cfrac{z_A+z_B}{2}$\, .

~

On considère les vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{w}$ et $\stackrel{\rightarrow}{w'}$ d'affixes respectives $z$ et $z'$, et le réel $\lambda$.

$\bullet$ \quad $\stackrel{\rightarrow}{w}+ \stackrel{\rightarrow}{w'}$ a pour affixe $z+z'$.

$\bullet$ \quad $\lambda \stackrel{\rightarrow}{w}$ a pour affixe $\lambda z$.

~

\textbf{Preuve :}

Il s'agit simplement d'une autre écriture des propriétés déjà connues pour les coordonnées.

\section{Forme trigonométrique d'un nombre complexe}

	\subsection{Module et argument}
	
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \stackrel{\rightarrow}{u}, \stackrel{\rightarrow}{v})$.

\vspace{1ex}

\textbf{Définition}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Soit $z$ un nombre complexe et $M$ son image dans le plan complexe. 

Le \textbf{module} de $z$, noté $|z |$, est la distance $OM$ : $|z |=OM$ .

Si $z$ est non nul, on appelle \textbf{argument} de $z$, noté $\arg(z)$, toute mesure en radian de l'angle orienté $(\stackrel{\rightarrow}{u} ; \stackrel{\longrightarrow}{OM} )$ : $\arg(z)=(\stackrel{\rightarrow}{u} ; \stackrel{\longrightarrow}{OM} )$ \quad $(2\pi)$.
\end{minipage}}
\end{center}

~

\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.9\textwidth}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{comp_image2.pdf}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}

~

\textbf{Exemples}

$|i|=1$ \,et  $\arg(i)=\cfrac{\pi}{2}$ \, $(2\pi)$

$|-3|=3$ \, et $\arg(-3)=\pi$ \, $(2\pi)$

~

\textbf{Propriétés}

$\bullet$ \quad Pour tout nombre complexe $z$, $z\overline{z}=a^2+b^2=|z|^2$

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad  Pour tout nombre complexe $z$,  $|-z|= | \overline{z}|= |z |$.

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad Pour tout nombre complexe non nul $z$ : $$\arg(-z)=\arg(z)+\pi \quad (2\pi)$$
$$\arg(\overline{z})=-\arg(z) \quad (2\pi)$$

$\bullet$ \quad $z$ est un réel, $(z\neq 0 )$, si et seulement si $\arg(z)=0$ \quad $(\pi)$.

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad $z$ est un imaginaire pur, $(z\neq 0 )$, si et seulement si $\arg(z)=\frac{\pi}{2}$ \quad $(\pi)$.

\subsection{Forme trigonométrique}

\textbf{Définition}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Tout nombre complexe non nul s'écrit sous la forme suivante, dite forme trigonométrique :
$$z=r(\cos\theta +i \sin \theta) \qquad \text{ avec } \quad r=|z| \, \text{ et } \, \theta=\arg(z) \quad (2\pi)$$ 
\end{minipage}}
\end{center}

\subsection{Passage d'une forme à l'autre}

$\bullet$ \quad  Si la forme algébrique de $z$ est $z=a+bi$, avec $z\neq 0$, alors sa forme trigonométrique est :
$z=r(\cos \theta +i \sin \theta)$ \, avec $r=\sqrt{a^2+b^2}$ \, et $\theta$ tel que $\cos \theta=\frac{a}{r}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$\, et $\sin \theta = \frac{b}{r}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad  Si la forme trigonométrique de $z$ est $z=r(\cos \theta +i \sin \theta)$, alors sa forme algébrique est :
$z=a+bi$\, avec $a=r\cos \theta$ et $b=r\sin \theta$.

\subsection{Propriétés}

On considère $z\neq 0$ et $z'\neq0$.

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad Produit

Module : $|z\times z'|=|z|\times |z'|$ \qquad \qquad ~ Argument : $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')  \quad (2\pi)$

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad Puissance

Module : $|z^n|=|z|^n$ \qquad \qquad \qquad \qquad Argument : $\arg(z^n)=n\, \arg(z)  \quad (2\pi)$

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad Inverse

Module : $\left|\cfrac{1}{z}\right|=\cfrac{1}{|z|}$ \qquad \qquad  \qquad \qquad ~ Argument : $\arg(\cfrac{1}{z})=- \arg(z)  \quad (2\pi)$

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad Quotient

Module : $\left|\cfrac{z}{z'}\right|=\cfrac{|z|}{|z'|}$ \qquad \qquad \qquad \qquad Argument : $\arg(\cfrac{z}{z'})=\arg(z)- \arg(z')  \quad (2\pi)$

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad Somme 

Inégalité triangulaire : $|z+z'|\leq |z|+|z'|$

\vspace{2ex}

$\bullet$ \quad Géométrie

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan complexe, d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$.

$$|z_B-z_A|=AB \, \text{ et } \, \arg(z_B-z_A)=(\stackrel{\rightarrow}{u} ; \stackrel{\longrightarrow}{AB} ) \quad (2\pi)$$

$$\left|\frac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\right|=\frac{CB}{CA} \, \text{ et } \, \arg\left(\frac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\right)=(\stackrel{\longrightarrow}{CA} ; \stackrel{\longrightarrow}{CB} ) \quad (2\pi)$$

Par conséquent, les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\arg\left(\cfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\right)=0$ \quad $(\pi)$

et les droites $(BC)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires si et seulement si $\arg\left(\cfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\right)=\frac{\pi}{2}$ \quad $(\pi)$

\section{Notation exponentielle et applications.}

\subsection{Notation exponentielle}

Tout nombre complexe de module $1$ s'écrit $z=\cos\theta + i \sin \theta$ avec $\theta=\arg(z)$\, $(2\pi)$.

~

On note $f$ la fonction qui à tout réel $\theta$ associe le nombre complexe $f(\theta)=\cos\theta + i \sin \theta$. 

On se propose de démontrer que pour tous réels $\theta$ et $\theta'$, $f(\theta+\theta')=f(\theta)\times f(\theta')$ et $f(0)=1$.

~

$f(\theta)\times f(\theta')=[\cos\theta + i \sin \theta ]\times [\cos\theta' + i \sin \theta' ]$

\qquad \qquad \qquad $=[\cos\theta \cos\theta'-  \sin \theta  \sin \theta'] +i[\cos\theta \sin \theta'+ \cos\theta'\sin \theta ]$

~

Soit : $f(\theta)\times f(\theta')=\cos (\theta+\theta')+i \sin(\theta+\theta')=f(\theta+\theta')$

~

De plus, $f(0)=\cos 0 +i \sin 0=1$

~

Ainsi, comme la fonction exponentielle, $f$ « transforme les sommes en produits » et $f(0)=1$.

D'où l'idée de poser $\text{e}^{i\theta}=\cos\theta + i \sin \theta$. L'égalité $f(\theta+\theta')=f(\theta)\times f(\theta')$ démontrée s'écrit alors $\text{e}^{i\theta}\times \text{e}^{i\theta'}=\text{e}^{i(\theta+\theta')}$, ce qui justifie cette notation exponentielle.

~

\textbf{Définition}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Le complexe de module $1$ dont un argument est $\theta$\, est noté $\text{e}^{i\theta}$\, avec :
$$\text{e}^{i\theta}=\cos\theta + i \sin \theta$$
\end{minipage}}
\end{center}

~

\textbf{Exemples}

$\text{e}^{i\pi}=-1$ \quad; \quad $\text{e}^{i\frac{\pi}{2}}=i$ 

~

\textbf{Notation exponentielle de la forme trigonométrique}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Tout nombre complexe non nul de module $r$ et d'argument $\theta$ s'écrit sous la forme suivante, dite notation exponentielle :
$$z=r\text{e}^{i\theta}\quad \text{ avec } \quad r=|z| \quad \text{ et } \theta =\arg(z) \quad (2\pi)$$
\end{minipage}}
\end{center}


\subsection{Propriétés}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
Pour tout réels $\theta$ et $\theta'$ :
$$\text{e}^{-i\theta}=\cos\theta - i \sin \theta$$
$$\text{e}^{i\theta}\times \text{e}^{i\theta'}=\text{e}^{i(\theta +\theta')} \qquad \qquad \left(\text{e}^{i\theta} \right)^n=\text{e}^{in\theta}$$
$$\frac{1}{\text{e}^{i\theta}}=\text{e}^{-i\theta}=\overline{\text{e}^{i\theta}} \qquad \qquad \frac{\text{e}^{i\theta}}{ \text{e}^{i\theta'}}=\text{e}^{i(\theta -\theta')}$$
\end{minipage}}
\end{center}
	
\subsection{Applications en trigonométrie}

A l'aide de ces formules, on retrouve les formules d'addition et de duplication vues en Première en écrivant les membres de gauche et de droite sous forme trigonométrique :

~

Par exemple :

$\text{e}^{i(\theta -\theta')}=\text{e}^{i\theta}\times \text{e}^{-i\theta'}$ \, s'écrit :

$\cos (\theta-\theta')+i \sin(\theta-\theta')=[\cos\theta + i \sin \theta ]\times [\cos\theta' - i \sin \theta' ]$

\qquad \qquad \qquad $=\cos\theta \cos\theta'-i\cos\theta \sin \theta'+i \sin \theta\cos\theta'+ \sin \theta  \sin \theta'$

\qquad \qquad \qquad $=[\cos\theta \cos\theta'+ \sin \theta  \sin \theta'] +i[\sin \theta\cos\theta'-\cos\theta \sin \theta' ]$

~

Ainsi on retrouve bien :

$\cos (\theta-\theta')=\cos\theta \cos\theta'+ \sin \theta  \sin \theta'$ \, et \, $\sin(\theta-\theta')=\sin \theta \cos\theta' -\cos\theta \sin \theta'$

Autre exemple :

$\text{e}^{i(\theta +\theta)}=\text{e}^{2i\theta}=\text{e}^{i\theta}\times \text{e}^{i\theta}$ \, s'écrit :

$\cos (2\theta)+i \sin(2\theta)=(\cos\theta + i \sin \theta)^2$

\qquad \qquad \qquad $=\cos^2\theta +2i\cos\theta \sin \theta -\sin^2 \theta$

\qquad \qquad \qquad $=\cos^2\theta - \sin^2 \theta  +i(2\sin \theta\cos\theta)$

~

Ainsi on retrouve bien :

$\cos (2\theta)=\cos^2\theta - \sin^2 \theta$ \, et \, $\sin(2\theta)=2\sin \theta \cos\theta $


 \end{document}